【行列式的几个重要公式】行列式是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于矩阵运算、方程组求解、几何变换等领域。掌握行列式的相关公式对于理解其性质和应用具有重要意义。本文将总结行列式的几个重要公式，并以表格形式进行展示。
一、行列式的定义与基本性质
行列式是一个与方阵相关的标量值，通常用符号 $
基本性质：
1. 行列式与转置：
$$
\det(A^T) = \det(A)
$$
2. 行列式与交换行（列）：
交换两行（或两列），行列式变号。
3. 行列式与倍乘行（列）：
将一行（或一列）乘以常数 $ k $，行列式也乘以 $ k $。
4. 行列式与行（列）相加：
若某一行（列）是其他两行（列）的和，则行列式可拆分为两个行列式的和。
5. 行列式为零的情况：
若某一行（列）全为零，或两行（列）相同，或两行（列）成比例，则行列式为零。
二、行列式的计算公式
以下是一些常用的行列式计算公式及适用场景。
| 公式名称 | 公式表达 | 适用范围 |
| 余子式展开 | $ \det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} $ 其中 $ C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} $ | 任意阶数的矩阵，按行或列展开 |
| 三角形行列式 | 若矩阵为上三角或下三角矩阵，则行列式为对角线元素之积 | 上/下三角矩阵 |
| 二阶行列式 | $ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $ | 2×2 矩阵 |
| 三阶行列式（Sarrus法则） | $ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh $ | 3×3 矩阵 |
| 拉普拉斯展开 | $ \det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij} $ | 任意阶数的矩阵，按行或列展开 |
| 范德蒙德行列式 | $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) $ | 范德蒙德矩阵 |
三、行列式的应用公式
在实际问题中，行列式还常用于以下方面：
| 应用场景 | 公式表达 | 说明 |
| 矩阵可逆性 | $ \det(A) \neq 0 $ | 当且仅当矩阵可逆 |
| 线性方程组解的存在性 | $ \det(A) \neq 0 $ | 非齐次方程组有唯一解 |
| 特征值与特征向量 | $ \det(A - \lambda I) = 0 $ | 求矩阵的特征值 |
| 雅可比行列式 | $ J = \frac{\partial(x_1, \dots, x_n)}{\partial(y_1, \dots, y_n)} $ | 在多变量微积分中用于变量替换 |
四、总结
行列式是研究矩阵性质的重要工具，掌握其基本公式和应用方法有助于深入理解线性代数的核心内容。通过余子式展开、三角化、范德蒙德公式等方法，可以高效地计算行列式，并在不同领域中发挥重要作用。
| 重点公式 | 说明 |
| 余子式展开 | 适用于任意阶数矩阵的计算 |
| 三角形行列式 | 简化计算，直接取对角线乘积 |
| 二阶/三阶行列式 | 常见基础计算公式 |
| 范德蒙德行列式 | 多项式插值与组合数学中的重要公式 |
| 雅可比行列式 | 多变量函数变换的关键工具 |
如需进一步了解具体公式的推导过程或应用场景，可结合教材或参考资料进行深入学习。
免责声明：本答案或内容为用户上传，不代表本网观点。其原创性以及文中陈述文字和内容未经本站证实，对本文以及其中全部或者部分内容、文字的真实性、完整性、及时性本站不作任何保证或承诺，请读者仅作参考，并请自行核实相关内容。 如遇侵权请及时联系本站删除。
