【利用初等变换求逆矩阵】在矩阵运算中，求逆矩阵是一个非常重要的内容。对于一个可逆矩阵，可以通过初等行变换将其转化为单位矩阵，同时对单位矩阵进行相同的变换，最终得到原矩阵的逆矩阵。这种方法不仅直观，而且操作性强，是求解逆矩阵的一种常用方法。
一、基本原理
设 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 的可逆矩阵，我们可以通过将矩阵 $ [A
二、步骤总结
以下是使用初等变换求逆矩阵的基本步骤：
| 步骤 | 操作说明 | |
| 1 | 构造增广矩阵 $ [A | I] $ |
| 2 | 对增广矩阵进行初等行变换，目标是将左边的 $ A $ 变为单位矩阵 $ I $ | |
| 3 | 在对 $ A $ 进行变换的同时，对右边的单位矩阵 $ I $ 同样进行相同的操作 | |
| 4 | 当左边变为 $ I $ 时，右边的矩阵即为 $ A^{-1} $ |
三、示例说明
以矩阵
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix}
$$
为例，求其逆矩阵。
增广矩阵：
$$
| A | I] = \left[\begin{array}{cc | cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{array}\right |
$$
第一步：消去第二行第一列元素
用 $ R_2 \rightarrow R_2 - 3R_1 $ 得到：
$$
\left[\begin{array}{cc
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & -2 & -3 & 1
\end{array}\right
$$
第二步：将第二行第二个元素化为 1
用 $ R_2 \rightarrow \frac{1}{-2}R_2 $ 得到：
$$
\left[\begin{array}{cc
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2}
\end{array}\right
$$
第三步：消去第一行第二列元素
用 $ R_1 \rightarrow R_1 - 2R_2 $ 得到：
$$
\left[\begin{array}{cc
1 & 0 & -2 & 1 \\
0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2}
\end{array}\right
$$
结果：
$$
A^{-1} = \begin{bmatrix}
-2 & 1 \\
\frac{3}{2} & -\frac{1}{2}
\end{bmatrix}
$$
四、注意事项
- 并非所有矩阵都可以通过初等变换求出逆矩阵，只有可逆矩阵（行列式不为零）才能进行此操作。
- 初等行变换包括：交换两行、某一行乘以非零常数、某一行加上另一行的倍数。
- 实际操作中应保持每一步的正确性，避免计算错误。
五、总结
利用初等变换求逆矩阵是一种系统而直观的方法，适用于大多数可逆矩阵。通过构造增广矩阵并逐步进行行变换，可以高效地求得逆矩阵。掌握这一方法有助于加深对矩阵运算的理解，并在实际问题中灵活应用。
