【超几何分布的方差公式】在概率论与统计学中，超几何分布是一种描述在不放回抽样情况下成功次数的概率分布。它常用于有限总体中的抽样问题，例如从一批产品中抽取样本进行质量检测等。了解超几何分布的方差有助于我们更好地理解其随机变量的波动性。
一、超几何分布的基本概念
超几何分布适用于以下情况：
- 总体中有 $ N $ 个个体；
- 其中 $ K $ 个个体具有某种特征（称为“成功”）；
- 从中随机抽取 $ n $ 个个体（不放回）；
- 设随机变量 $ X $ 表示这 $ n $ 个个体中具有该特征的数量。
则 $ X $ 服从参数为 $ (N, K, n) $ 的超几何分布，记作 $ X \sim \text{Hypergeometric}(N, K, n) $。
二、超几何分布的期望与方差
超几何分布的期望和方差是衡量其集中趋势和离散程度的重要指标。以下是它们的计算公式：
| 项目 | 公式 | 说明 |
| 期望值（均值） | $ E(X) = n \cdot \frac{K}{N} $ | 表示在 $ n $ 次抽样中平均能抽到的“成功”数量 |
| 方差 | $ \text{Var}(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} $ | 描述了随机变量 $ X $ 的波动程度 |
其中，$ \frac{N - n}{N - 1} $ 是一个修正因子，用于调整不放回抽样的影响，使得方差小于同参数下的二项分布。
三、对比：超几何分布与二项分布的方差
在二项分布中，每次抽样都是独立的，且总体无限大或抽样后放回，因此其方差为：
$$
\text{Var}(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)
$$
而在超几何分布中，由于是不放回抽样，样本之间存在相关性，因此方差会比二项分布小，具体体现在修正因子 $ \frac{N - n}{N - 1} $ 上。
四、实例分析
假设某批产品共有 100 件，其中有 30 件是次品。从中随机抽取 10 件，设 $ X $ 为抽到的次品数，则：
- $ N = 100 $, $ K = 30 $, $ n = 10 $
- $ E(X) = 10 \times \frac{30}{100} = 3 $
- $ \text{Var}(X) = 10 \times \frac{30}{100} \times \left(1 - \frac{30}{100}\right) \times \frac{100 - 10}{100 - 1} \approx 2.12 $
这表明，在平均情况下，抽到 3 件次品，但实际结果可能围绕这个值上下波动。
五、总结
超几何分布的方差公式是：
$$
\text{Var}(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1}
$$
它反映了在不放回抽样下，随机变量的离散程度。相较于二项分布，超几何分布的方差更小，这是由于样本之间的相关性所致。
通过掌握这一公式，我们可以更准确地评估在有限总体中进行抽样时的不确定性，从而做出更合理的统计推断。
