在数学分析中，反三角函数是一个非常重要的研究对象，而其中的反切函数（即arctanx）更是经常出现在各种高等数学题目以及实际应用问题中。那么，arctanx的导数究竟是什么呢？本文将从定义出发，逐步推导出这一结论，并结合一些实例帮助大家更好地理解。

首先回顾一下反切函数的定义：arctanx表示的是正切值为x的角θ，且该角位于区间(-π/2, π/2)内。换句话说，如果tan(θ) = x，则θ = arctan(x)，并且-π/2 < θ < π/2。

接下来我们来求解arctanx的导数。根据微积分的基本原理，若y=f(x)，则f'(x)可以通过极限形式定义为：

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]

对于y=arctanx来说，假设其导数为g(x)，那么根据上述公式可以写出：

\[ g(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\arctan(x+h)-\arctan(x)}{h} \]

为了简化计算过程，我们可以利用三角恒等式tan(a-b)= [tan(a)-tan(b)]/[1+tan(a)tan(b)]。令a=arctan(x+h)，b=arctan(x)，则有：

\[ \tan(a-b) = \frac{(x+h)-x}{1+(x+h)x} = \frac{h}{1+x^2+hx} \]

当h趋于零时，上式右侧趋近于h/(1+x²)。因此，根据反函数求导法则，arctanx的导数为：

\[ g(x) = \frac{1}{1+x^2} \]

这个结果表明，arctanx的导数始终是一个正值，并且随着|x|增大而逐渐减小。这反映了反切函数的增长速度随自变量绝对值增加而变慢的特点。

最后，让我们通过一个具体的例子来验证这一结论。假设我们需要计算arctan(3)处的斜率。根据上面得出的结果，只需将x替换为3即可得到：

\[ g(3) = \frac{1}{1+3^2} = \frac{1}{10} \]

由此可见，arctanx的导数确实等于1/(1+x²)，无论是在理论推导还是实际应用中都具有重要意义。掌握这一知识点不仅有助于解决相关习题，还能加深对反三角函数性质的理解。