在概率论与数理统计中，泊松分布是一种离散型概率分布，它描述了在固定时间段内独立事件发生的次数的概率分布情况。泊松分布广泛应用于各种领域，如通信工程中的信号处理、生物学中的突变分析以及金融风险评估等。

泊松分布通常用符号P(λ)表示，其中λ是平均发生次数的参数，且λ > 0。泊松分布的概率质量函数为：

\[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]

其中：

- \( X \) 是随机变量，代表事件发生的次数；

- \( k \) 是非负整数，表示事件发生的具体次数；

- \( e \approx 2.718 \) 是自然对数的底；

- \( \lambda \) 是事件的平均发生次数。

泊松分布的应用实例

假设某医院急诊室平均每小时接收到3名患者，那么我们可以使用泊松分布来计算在一小时内接收到不同数量患者的概率。例如，我们想求出该小时内接收到5名患者的概率。

根据公式：

\[ P(X = 5) = \frac{3^5 e^{-3}}{5!} \]

通过计算可得：

\[ P(X = 5) = \frac{243 \times e^{-3}}{120} \approx 0.1008 \]

这意味着在一小时内接收到5名患者的概率约为10.08%。

泊松定理

泊松定理指出，在一定条件下，二项分布可以近似为泊松分布。具体来说，当试验次数n很大而成功概率p很小时，如果np趋于一个常数λ，则二项分布B(n,p)可以近似为泊松分布P(λ)。这一结论简化了许多复杂问题的求解过程，并提供了重要的理论基础。

总结而言，泊松分布作为一种重要的概率模型，在实际应用中具有广泛的适用性和强大的表达能力。理解和掌握泊松分布及其相关定理对于深入学习统计学和解决实际问题都至关重要。