在数学中，三角函数是描述角度和边长关系的重要工具，而sin（正弦）、cos（余弦）和tan（正切）是最基础且常用的三种三角函数。它们不仅广泛应用于几何学，还贯穿于物理、工程以及计算机科学等领域。为了更好地理解和运用这些函数，我们需要掌握它们的基本公式及其变形。

sin、cos、tan的基础定义

假设在一个直角三角形中，有一个锐角为θ，则：

- 正弦函数（sin） 表示对边与斜边的比值，即 \( \sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} \)。

- 余弦函数（cos） 表示邻边与斜边的比值，即 \( \cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} \)。

- 正切函数（tan） 表示对边与邻边的比值，即 \( \tan\theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} \)。

这三个函数之间存在密切联系，并遵循一些重要的恒等式。

核心公式汇总

1. 勾股定理与平方关系

根据勾股定理，我们有：

\[ (\sin\theta)^2 + (\cos\theta)^2 = 1 \]

这一公式揭示了sin和cos之间的内在联系，是所有三角函数公式的基础。

2. tan的表达形式

由于 \( \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \)，因此可以将tan视为sin和cos的比例关系。

3. 倍角公式

倍角公式用于计算两倍角的三角函数值，例如：

- \( \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta \)

- \( \cos(2\theta) = (\cos\theta)^2 - (\sin\theta)^2 \)

4. 和差化积公式

当需要处理两个不同角度的加减运算时，可以使用以下公式：

- \( \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \)

- \( \cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \)

5. 积化和差公式

如果已知乘积形式，可以通过以下公式转化为和差形式：

- \( \sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)] \)

应用实例

三角函数的实际用途非常广泛。例如，在建筑设计中，工程师利用sin和cos来计算建筑物的高度或倾斜角度；在物理学中，sin和cos常被用来分析波形、振动等问题；而在编程领域，三角函数则是绘制图形、模拟运动轨迹的关键工具。

以一个简单的例子说明：若要计算坡度为30°的斜坡高度，已知坡底到顶部的距离为10米，则可设斜边为10米，利用 \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)，得出高度为5米。

通过上述内容可以看出，sin、cos、tan不仅是抽象的数学符号，更是解决实际问题的强大武器。掌握这些公式的本质及其应用场景，能够帮助我们在学习和工作中更加得心应手。