在数学分析中，求解一个函数的原函数是一项基础而重要的技能。本文将探讨如何找到函数 \( \sin(3x) \) 的原函数，并通过逐步推导展示这一过程。

首先，我们需要明确什么是原函数。所谓原函数，是指对于给定的函数 \( f(x) \)，如果存在另一个函数 \( F(x) \)，使得 \( F'(x) = f(x) \)，那么 \( F(x) \) 就是 \( f(x) \) 的原函数。简单来说，原函数就是求不定积分的过程。

接下来，我们来看具体的问题——求 \( \sin(3x) \) 的原函数。根据微积分的基本公式，我们知道：

\[

\int \sin(ax) \, dx = -\frac{1}{a} \cos(ax) + C

\]

其中，\( a \) 是常数，\( C \) 为积分常数。在这个问题中，\( a = 3 \)，因此可以套用上述公式：

\[

\int \sin(3x) \, dx = -\frac{1}{3} \cos(3x) + C

\]

于是，\( \sin(3x) \) 的原函数为：

\[

F(x) = -\frac{1}{3} \cos(3x) + C

\]

为了验证结果是否正确，我们可以对 \( F(x) \) 求导，看看是否得到原来的函数 \( \sin(3x) \)。根据求导法则：

\[

F'(x) = \frac{d}{dx} \left( -\frac{1}{3} \cos(3x) + C \right)

\]

利用链式法则和三角函数的导数公式：

\[

F'(x) = -\frac{1}{3} \cdot (-\sin(3x)) \cdot 3 = \sin(3x)

\]

由此可见，我们的计算是正确的。

总结起来，函数 \( \sin(3x) \) 的原函数为：

\[

-\frac{1}{3} \cos(3x) + C

\]

这个结论不仅适用于理论学习，也在实际应用中具有重要意义，例如物理学中的波动方程、工程学中的振动分析等领域都会用到类似的知识点。

希望本文能够帮助读者更好地理解如何求解这类问题，并激发大家对数学的兴趣与探索精神！