提到杨辉三角，我们首先想到的是那个排列整齐、数字对称的数学结构。它不仅在数学领域有着重要的地位，而且在物理学、计算机科学等多个领域也有着广泛的应用。那么，杨辉三角究竟有什么样的数学公式呢？

杨辉三角最核心的数学特性可以用一个组合数公式来表示。每个位置上的数字可以表示为从上一行的两个相邻数字相加得到。如果我们将杨辉三角的行数记为n，位置记为k，则杨辉三角中的第n行第k个元素（从0开始计数）可以用组合数C(n,k)来表示：

C(n,k) = n! / [k!(n-k)!]

这里，"!"代表阶乘运算，即一个数的阶乘等于所有小于及等于该数的正整数的乘积。

例如，在杨辉三角的第4行（从0开始计数），第2个元素（同样从0开始计数）可以通过计算C(4,2)得到：

C(4,2) = 4! / [2!(4-2)!] = (4×3×2×1) / [(2×1)(2×1)] = 6

因此，杨辉三角第4行第2个位置的数字就是6。

杨辉三角的这种特性使得它在概率论和统计学中也占有重要地位。比如，二项式定理的展开式中的系数正好对应于杨辉三角中的数字。二项式定理如下：

(a+b)^n = Σ C(n,k) a^(n-k) b^k

其中，Σ表示求和，k从0到n变化。

通过杨辉三角，我们可以轻松地找到任意次幂展开后的各项系数。例如，对于(a+b)^5，我们只需查看杨辉三角的第5行，就可以得到展开式的系数序列：1, 5, 10, 10, 5, 1。

此外，杨辉三角还隐藏着许多有趣的数学规律。比如，每一行的数字之和恰好是一个2的幂次方；沿着对角线方向的数字序列满足斐波那契数列等。

总之，杨辉三角不仅仅是一个简单的数字排列，它蕴含了丰富的数学知识和规律。通过理解其背后的组合数学原理，我们可以更好地欣赏这个古老而又迷人的数学结构。