【凸度与久期计算公式】在债券投资中，久期和凸度是衡量债券价格对利率变动敏感性的两个重要指标。它们帮助投资者更好地理解和管理利率风险。以下是对这两个概念的总结，并附有相关计算公式的表格。
一、久期（Duration）
久期是用来衡量债券价格对市场利率变化反应程度的一个指标。它表示的是债券现金流的加权平均时间，权重为各期现金流的现值。
1. 麦考利久期（Macaulay Duration）
麦考利久期是最早提出的久期概念，用于衡量债券的平均到期时间。
公式：
$$
D_{\text{Macaulay}} = \frac{\sum_{t=1}^{n} t \cdot \frac{C_t}{(1 + r)^t}}{P}
$$
其中：
- $ C_t $：第 $ t $ 期的现金流
- $ r $：市场利率或折现率
- $ P $：债券当前价格
- $ n $：债券剩余期限
2. 麦考利久期与修正久期的关系
修正久期是麦考利久期的调整版本，考虑了债券的收益率变化对价格的影响。
公式：
$$
D_{\text{Modified}} = \frac{D_{\text{Macaulay}}}{1 + r}
$$
二、凸度（Convexity）
凸度是衡量债券价格对利率变化的二阶导数，反映价格与收益率之间的非线性关系。当利率变动较大时，仅用久期估算价格变化可能不够准确，此时需要引入凸度进行修正。
公式：
$$
C = \frac{\sum_{t=1}^{n} t(t + 1) \cdot \frac{C_t}{(1 + r)^{t + 2}}}{P}
$$
其中：
- $ C_t $：第 $ t $ 期的现金流
- $ r $：市场利率或折现率
- $ P $：债券当前价格
- $ n $：债券剩余期限
三、久期与凸度的关系
| 指标 | 定义 | 作用 | 公式类型 |
| 久期 | 衡量债券价格对利率变化的敏感性 | 评估利率风险 | 麦考利久期 / 修正久期 |
| 凸度 | 衡量债券价格对利率变化的非线性反应 | 提高价格预测的准确性 | 凸度公式 |
四、应用示例
假设有一张面值为100元、票面利率5%、剩余期限为3年的债券，市场利率为6%。我们可以计算其久期和凸度。
| 年份 | 现金流（元） | 折现因子（6%） | 现值（元） | 时间权重（年 × 现值） | 时间平方权重（年² × 现值） |
| 1 | 5 | 0.9434 | 4.717 | 4.717 | 4.717 |
| 2 | 5 | 0.8900 | 4.450 | 8.900 | 17.800 |
| 3 | 105 | 0.8396 | 88.158 | 264.474 | 793.422 |
| 合计 | — | — | 97.325 | 278.091 | 816.940 |
计算结果：
- 麦考利久期 = 278.091 / 97.325 ≈ 2.858年
- 修正久期 = 2.858 / (1 + 0.06) ≈ 2.696年
- 凸度 = 816.940 / 97.325 ≈ 8.393
五、总结
久期和凸度是债券分析中的核心工具，能够帮助投资者更精确地评估利率波动对债券价格的影响。虽然久期提供了线性近似，但凸度则弥补了这一不足，使预测更加准确。在实际操作中，建议结合两者使用，以提高投资决策的质量。
