【立体几何求点到平面的距离】在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的问题，广泛应用于数学、物理、工程等领域。掌握这一知识点不仅有助于理解空间几何关系，还能为后续的向量运算、投影分析等打下基础。
点到平面的距离是指从一个点出发，垂直于该平面所形成的线段长度。这个距离可以通过向量法或代数公式进行计算。以下是对该问题的总结与归纳。
一、基本概念
| 概念 | 定义 |
| 点 | 空间中的一个位置，通常用坐标表示（如 P(x₀, y₀, z₀)） |
| 平面 | 由方程 Ax + By + Cz + D = 0 表示的二维图形 |
| 点到平面的距离 | 从点 P 到平面 π 的最短距离，即垂线段的长度 |
二、求点到平面距离的方法
方法一：向量法
设点 $ P(x_0, y_0, z_0) $，平面 $ \pi: Ax + By + Cz + D = 0 $，则点到平面的距离公式为：
$$
d = \frac{
$$
- 步骤：
1. 将点的坐标代入平面方程；
2. 计算分子部分的绝对值；
3. 计算分母部分的模长；
4. 相除得到距离。
方法二：投影法
若已知平面的一个法向量 $ \vec{n} = (A, B, C) $ 和平面上一点 $ Q(x_1, y_1, z_1) $，则点 $ P $ 到平面的距离可表示为：
$$
d = \frac{
$$
其中 $ \vec{PQ} = (x_0 - x_1, y_0 - y_1, z_0 - z_1) $
三、典型例题解析
| 题目 | 解答过程 | ||||
| 已知点 $ P(1, 2, 3) $，平面 $ \pi: 2x - y + 3z - 6 = 0 $，求点 P 到平面 π 的距离 | 代入公式： $$ d = \frac{ | 2×1 - 1×2 + 3×3 - 6 | }{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2}} = \frac{ | 2 - 2 + 9 - 6 | }{\sqrt{4 + 1 + 9}} = \frac{3}{\sqrt{14}} $$ 最终结果：$ \frac{3}{\sqrt{14}} $ 或约 0.801 |
| 已知点 $ P(0, 0, 5) $，平面通过点 $ Q(1, 1, 1) $，且法向量为 $ \vec{n} = (2, -1, 1) $，求点 P 到平面的距离 | 向量 $ \vec{PQ} = (1 - 0, 1 - 0, 1 - 5) = (1, 1, -4) $ 点积：$ \vec{PQ} \cdot \vec{n} = 2×1 + (-1)×1 + 1×(-4) = 2 - 1 - 4 = -3 $ 模长：$ | \vec{n} | = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6} $ 距离：$ \frac{ | -3 | }{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} $ 或约 1.225 |
四、注意事项
- 公式适用于所有类型的平面，无论其是否经过原点；
- 若点位于平面上，则距离为 0；
- 计算时注意符号，尤其是分子部分要取绝对值；
- 在实际应用中，单位要统一，避免因单位不一致导致误差。
五、总结
点到平面的距离是立体几何中重要的计算内容，涉及向量、代数和几何知识的综合运用。掌握其计算方法，不仅能提高解题效率，还能增强对空间结构的理解。通过练习不同类型的题目，可以进一步巩固相关知识，并提升空间想象能力。
关键词：立体几何、点到平面距离、向量法、投影法、公式推导
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