【怎样用分部积分法求积分】分部积分法是微积分中一种重要的积分技巧，尤其适用于被积函数为两个函数相乘的情况。它基于乘积法则的逆运算，其基本公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
在实际应用中，选择合适的 $u$ 和 $dv$ 是关键。以下是对分部积分法的总结与操作步骤。
一、分部积分法的基本步骤
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 确定被积函数是否可以表示为两个函数的乘积形式，即 $f(x) = u(x) \cdot v'(x)$ 或类似形式。 |
| 2 | 选择一个函数作为 $u$，另一个作为 $dv$。通常选择容易求导的函数作为 $u$，容易积分的函数作为 $dv$。 |
| 3 | 对 $u$ 求导得到 $du$，对 $dv$ 积分得到 $v$。 |
| 4 | 代入公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，计算新的积分。 |
| 5 | 如果新积分仍然复杂，可能需要再次使用分部积分法，直到结果可解为止。 |
二、常见适用情况
| 类型 | 示例 | 适用策略 |
| 多项式 × 指数函数 | $\int x e^x dx$ | 设 $u = x$, $dv = e^x dx$ |
| 多项式 × 三角函数 | $\int x \sin x dx$ | 设 $u = x$, $dv = \sin x dx$ |
| 对数函数 × 多项式 | $\int \ln x \, dx$ | 设 $u = \ln x$, $dv = dx$ |
| 反三角函数 × 多项式 | $\int \arctan x \, dx$ | 设 $u = \arctan x$, $dv = dx$ |
三、注意事项
- 选择不当会导致计算更复杂：例如，若将 $e^x$ 选为 $u$ 而将 $x$ 选为 $dv$，反而会增加难度。
- 多次分部积分时需保持一致性：例如，对于 $\int x^2 \cos x dx$，可能需要进行两次分部积分。
- 注意符号和边界条件：如果涉及定积分，需在最后代入上下限。
四、示例解析
题目：计算 $\int x \cos x \, dx$
| 步骤 | 操作 |
| 1 | 设 $u = x$, $dv = \cos x \, dx$ |
| 2 | 则 $du = dx$, $v = \sin x$ |
| 3 | 代入公式：$\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx$ |
| 4 | 计算新积分：$\int \sin x dx = -\cos x + C$ |
| 5 | 最终结果：$\int x \cos x dx = x \sin x + \cos x + C$ |
五、总结
分部积分法是一种实用且强大的工具，特别适用于乘积形式的积分。掌握其核心思想（即“将一个复杂的积分转化为更简单的形式”）是关键。通过合理选择 $u$ 和 $dv$，并结合多次应用，可以解决许多看似困难的积分问题。
关键词：分部积分法、积分技巧、微积分、数学方法
