在数学领域中，一元二次方程的研究始终占据着重要的地位。本文将围绕一个特定的一元二次方程展开讨论，该方程的形式为 \( mx^2 - (3m - 1)x + (2m - 1) = 0 \)，并且已知其根的判别式的值为 1。
首先，我们回顾一下根的判别式的基本概念。对于一般形式的一元二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，其根的判别式定义为 \( \Delta = b^2 - 4ac \)。当 \( \Delta > 0 \) 时，方程有两个不同的实数解；当 \( \Delta = 0 \) 时，方程有两个相等的实数解；而当 \( \Delta < 0 \) 时，则方程无实数解。
回到我们的具体问题，已知方程 \( mx^2 - (3m - 1)x + (2m - 1) = 0 \) 的判别式 \( \Delta = 1 \)。通过代入公式计算可得：
\[
\Delta = [-(3m - 1)]^2 - 4m(2m - 1)
\]
简化后得到：
\[
\Delta = (3m - 1)^2 - 8m^2 + 4m
\]
进一步展开并整理为标准形式：
\[
\Delta = 9m^2 - 6m + 1 - 8m^2 + 4m = m^2 - 2m + 1
\]
注意到 \( m^2 - 2m + 1 \) 是一个完全平方数，即：
\[
\Delta = (m - 1)^2
\]
由于题目明确指出 \( \Delta = 1 \)，因此有：
\[
(m - 1)^2 = 1
\]
解此方程可以得到两个可能的值：
\[
m - 1 = 1 \quad \text{或} \quad m - 1 = -1
\]
从而得出：
\[
m = 2 \quad \text{或} \quad m = 0
\]
接下来，我们需要验证这两个值是否满足原题条件。当 \( m = 2 \) 时，原方程变为：
\[
2x^2 - 5x + 3 = 0
\]
此时计算判别式：
\[
\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1
\]
显然符合条件。同样地，当 \( m = 0 \) 时，原方程退化为线性方程，不符合一元二次方程的定义。因此，唯一满足条件的解是 \( m = 2 \)。
综上所述，通过对给定方程的分析与推导，我们最终确定了参数 \( m \) 的取值范围，并验证了其合理性。这一过程不仅加深了对根的判别式的理解，也展示了如何利用代数方法解决实际问题。
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