在数学领域中，线性微分方程是一种非常重要的工具，广泛应用于物理学、工程学以及其他科学分支。它描述了变量及其导数之间的关系，并且满足叠加原理，即解的线性组合仍然是该方程的解。

对于一阶线性微分方程，其标准形式可以表示为：

dy/dx + P(x)y = Q(x)

其中P(x)和Q(x)是已知函数。这个方程的通解可以通过积分因子法求得。首先定义一个积分因子μ(x)，它等于e^(∫P(x)dx)，然后将原方程两边同时乘以μ(x)，得到一个新的方程：

μ(x)(dy/dx) + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)

通过这个变换，左边变成了关于y的全导数形式，从而可以直接进行积分操作，最终得到通解表达式。

二阶常系数齐次线性微分方程的形式为：

d²y/dx² + A(dy/dx) + By = 0

这里A和B都是常数。其特征方程为r²+Ar+B=0。根据特征根的不同情况，可以分为三种情形来讨论：当有两个不同的实根时；当有一个重根时；以及当有一对共轭复根时，分别对应着不同的通解形式。

非齐次线性微分方程则具有更复杂的结构，但同样可以通过寻找特解与对应的齐次方程通解之和来解决问题。特别地，在处理某些特定类型的非齐次项时，可以采用待定系数法或者拉普拉斯变换等方法来简化计算过程。

总之，掌握好这些基本公式不仅有助于解决具体的数学问题，还能为进一步研究更复杂的系统提供理论基础。希望以上内容能够帮助您更好地理解线性微分方程的基本概念及其应用技巧。