【偶函数乘奇函数是什么函数】在数学中，函数的奇偶性是研究函数对称性的重要性质。常见的函数类型包括偶函数、奇函数以及既不是奇函数也不是偶函数的函数。当我们讨论“偶函数乘奇函数”时，需要了解它们的乘积具有怎样的性质。
一、基本概念总结
| 概念 | 定义 |
| 偶函数 | 若对所有定义域内的 $ x $，都有 $ f(-x) = f(x) $，则称 $ f(x) $ 为偶函数。 |
| 奇函数 | 若对所有定义域内的 $ x $，都有 $ f(-x) = -f(x) $，则称 $ f(x) $ 为奇函数。 |
| 偶函数 × 奇函数 | 设 $ f(x) $ 为偶函数，$ g(x) $ 为奇函数，则乘积函数为 $ h(x) = f(x) \cdot g(x) $。 |
二、偶函数与奇函数相乘的性质
我们可以通过代数方法验证：设 $ f(x) $ 是偶函数，$ g(x) $ 是奇函数，则：
$$
h(-x) = f(-x) \cdot g(-x)
$$
由于 $ f(x) $ 是偶函数，所以 $ f(-x) = f(x) $；
由于 $ g(x) $ 是奇函数，所以 $ g(-x) = -g(x) $。
因此，
$$
h(-x) = f(x) \cdot (-g(x)) = -f(x) \cdot g(x) = -h(x)
$$
这说明乘积函数 $ h(x) = f(x) \cdot g(x) $ 满足奇函数的定义，即：
$$
h(-x) = -h(x)
$$
三、结论
综上所述，偶函数乘以奇函数的结果是一个奇函数。
四、表格总结
| 函数类型 | 性质 | 乘积结果 | 结果函数类型 |
| 偶函数 | $ f(-x) = f(x) $ | 偶函数 × 奇函数 | 奇函数 |
| 奇函数 | $ g(-x) = -g(x) $ |
五、举例说明
- 设 $ f(x) = x^2 $（偶函数），$ g(x) = x $（奇函数），
- 则 $ h(x) = f(x) \cdot g(x) = x^2 \cdot x = x^3 $，
- 显然，$ h(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -h(x) $，符合奇函数定义。
通过上述分析可以看出，“偶函数乘奇函数”的结果是奇函数，这是函数奇偶性的一个重要规律，有助于我们在处理复合函数和对称性问题时快速判断函数的性质。
